设x^2+y^2=a^2<1,求S=√1-x^2+√1-y^2的最大值

以上各位思路正确但是少了一点:
平方过程中出现了增根.
由原方程解得
y=Sqrt[-(-1 + x) (1 + x)]所以y≥0.
x=Sqrt[-(-1 + y) (1 + y)]所以x≥0.

当x≥0,y≥0时,
x√(1-y^2)+y√(1-x^2)=1
设x=Sin[t],y=Sin[s],t,s为锐角包括0°和90°.
则Sin[t]Cos[s]+Cos[t]Sin[s]=1
Sin[s+t]=1
s与t互余
x+y=Sin[t]+Sin[s]=Sin[t]+Cos[t]= Sqrt[2]Cos[45 °-t].
1≤Sqrt[2]Cos[45 °-t]≤Sqrt[2].

当且仅当t=45°时,此时,x=Sqrt[2]/2,y=Sqrt[2]/2,x+y有最大值Sqrt[2].

当且仅当t=0°时,此时,x=1,y=0,x+y有最小值1.